ลำดับและอนุกรมคณิตศาตร์
ลำดับ คือ เอาตัวเลขมาวางเรียงกัน เช่น 1,3,5,7,9
- ลำดับตัวที่ 1 เราจะเรียกว่า พจน์ที่ 1 สัญลักษณ์ a1
- ลำดับตัวที่ 2 เราจะเรียกว่า พจน์ที่ 2 สัญลักษณ์ a2
ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นผลต่างร่วม (d)
a1, a2, a3,…,an
an เรียกว่า พจน์ที่ n หรือ พจน์ทั่วไป
ลำดับจะแบ่งได้เป็น 2 แบบ
ลำดับจำกัด คือ ลำดับที่มีจำนวนพจน์จำกัด
- เช่น 1,2,3 สามารถบอกได้ว่า ลำดับนี้มี 3 พจน์
- 1,2,3,4,5,…,100 สามารถบอกได้ว่า ลำดับนี้มี 100 พจน์ ดังนั้นจึงจัดได้ว่าเป็นลำดับจำกัด
ลำดับอนันต์ คือ ลำดับที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด
- 1,2,3,4,5,… จากตัวอย่างนี้เราไม่สามารถบอกได้ว่าสิ้นสุดที่เท่าไหร่
สูตรของพจน์ทั่วไป หรือ พจน์ an
ซึ่งสูตรนี้เราจะใช้เมื่อต้องการหาว่าพจน์นั้น ๆ มีค่าเท่าใด
ตัวอย่าง
จงหา 3 พจน์แรกของ an = 2n+1
จากโจทย์เขาให้ an มา แล้วเราต้องการหาพจน์ที่ 1 ก็แทน n=1
พจน์ที่ 1 จะได้ a1 = 2(1)+1 =3
พจน์ที่ 2 จะได้ a2 = 2(2)+1 =5
พจน์ที่ 3 จะได้ a3 = 2(3)+1 =7
ถ้า an = 5n+7 จงหาว่าพจน์ไหนมีค่าเท่ากับ 52
เราก็แทนค่าที่ an ได้เลยจะได้
ดังนั้นพจน์ที่มีค่าเท่ากับ 52 คือพจน์ที่ 9 หรือ a9
ลำดับเลขคณิต VS ลำดับเรขาคณิต
ลำดับเลขคณิต
ค่าของตัวเลขจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่ เช่น2, 4, 6, 8, 10 ซึ่งค่าของตัวเลขที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่นี้แรกว่า “ผลต่างร่วม” แทนด้วยสัญลักษณ์ d ซึ่ง 2, 4, 6, 8, 10 มีค่า d = 2
สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต
an = a1 + (n-1)d
ตัวอย่างโจทย์ลำดับเลขคณิต
a1 = 2, d = 2 จงหา a15
จะได้ 2, 4, 6, …, a15
สูตร an = a1 + (n-1)d
= 2+(n-1)2
= 2+2n-2
an = 2n
จากนั้นหา a15
a15 = 2(15)
a15 = 30
ดังนั้นพจน์ที่ 15 ของลำดับเลขคณิตคือ 30
หรืออีก 1 วิธี
จาก 2, 4, 6, …, a15
an = a1 + (n-1)d
a15 = 2 + (15-1)2
a15 = 2 + 28
a15 = 30
ลำดับเรขาคณิต
ค่าตัวเลขจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงด้วยการคูณหรือหารอย่างคงที่ อย่างเช่น
5, 10, 20, 40 ตัวเลขเพิ่มขึ้นจากการ x 2 อย่างคงที่ ซึ่งเราจะเรียกผลต่างของเรขาคณิตว่า “อัตราส่วนร่วม” แทนด้วยสัญลักษณ์ r จาก 5, 10, 20, 40 มีค่า r = 2
สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต
an = a1 x rn-1
ตัวอย่างโจทย์เรขาคณิต
ถ้า a1 = 5, r = 2 จงหา an
จะได้ 5, 10, 20, 40, 80
an = 5 x 2n-1
